La geometría diferencial describe la forma “local” de las cosas conociendo como se miden “localmente” las distancias.
Pensemos en nuestro planeta; cualquier habitante de la Tierra a primera vista piensa que es “plana”, pero todos sabemos que no lo es; por lo tanto “localmente es casi plana”.
Si medimos con mucha exactitud las distancias en la superficie de la Tierra, podremos estimar el radio de ésta (los griegos lo hicieron), lo cual nos brinda información acerca de la forma de nuestro planeta, en otras palabras, información acerca de su geometría.
De eso se trata la Geometría Diferencial; a partir de como se miden las distancias en un espacio es posible conocer sus propiedades geométricas y viceversa.
Por la Relatividad Especial se sabe que a cuanto más velocidad se vaya, el espacio y el tiempo se comprimen.
O sea que el espacio y el tiempo son relativos a la velocidad.
Y así como el espacio-tiempo cambian de “tamaño”, se puede pensar que en conjunto, el espacio-tiempo también podría estar cambiando de “forma”.
Es aquí donde Einstein, con la ayuda de un amigo matemático de nombre Grossman, se dio a la tarea de aplicar las ideas de la Geometría Diferencial al espacio-tiempo. El resultado de esto fue la Relatividad General, la cual establece una relación entre la “forma” del espacio-tiempo y las concentraciones de materia y energía. La ecuación principal de la relatividad general (ecuación de Einstein) es:
Ecuación de Einstein que describe la curvatura del Espacio-Tiempo (lado izquierdo) provocada por las concentraciones de energía y materia (lado derecho). G(mn) se le conoce como tensor de Einstein y lleva dentro de sí la descripción geométrica del espacio-tiempo, mientras que T(mn) es el tensor de energía-momentum, el cual lleva la información de las distribuciones de energía y materia. La letra G es la constante gravitatoria o de Newton.
El lado izquierdo describe la geometría del espacio-tiempo (curvatura y la forma de medir distancias) y el lado derecho representa la distribución de materia y energía. Y aunque no lo parezca la Relatividad General es una generalización de la ley de la gravitación universal que incorpora la Relatividad Especial.
De acuerdo a la Relatividad General, mientras más materia y energía haya en alguna parte del espacio-tiempo, en ese lugar, su curvatura es mayor y conforme uno se aleja de esa región la curvatura del espacio tiempo disminuye hasta regresar a estar “plano”, que es el caso de la Relatividad Especial.
Por ejemplo cerca del Sol, debido a su gran masa, el espacio-tiempo se curva mucho, lo que provoca que, desde nuestra perspectiva únicamente espacial, Mercurio gire muy rápido a su alrededor, mientras que en la órbita de la Tierra el espacio-tiempo es menos curvo y, por ende, la Tierra gira más lentamente alrededor del Sol.
Pero no es el único fenómeno producido por la curvatura del espacio tiempo provocada por la masa y energía del Sol. Una de las grandes corroboraciones de la Relatividad General, se realizó durante un eclipse.
Esto ocurrió después de la primera guerra mundial, aprovechando el ocultamiento solar durante un eclipse se midió la desviación que la curvatura del espacio-tiempo provocaba en las estrellas que se veían cerca del Sol. Si la Relatividad General era cierta, esta desviación podría ser medida; desviación que fue confirmada, lo que brindó validez a esta teoría física.
